Деление чисел с остатком: формулы, примеры и правила

Деление с остатком целых положительных чисел

Деление — это разбиение целого на равные части.

Остаток от деления — это число, которое образуется при делении с остатком. То есть то, что «влезло» и осталось, как хвостик.

Демоурок по математике

Узнайте, какие темы у вас «хромают», а после — разбирайте их без зубрежки формул и скучных лекций.

Проверка деления с остатком

Пока решаешь пример, бывает всякое: то в окно отвлекся, то друг позвонил. Чтобы убедиться в том, что все правильно, важно себя проверять. Особенно ученикам 5 класса, которые только начали проходить эту тему.

Эту формулу можно использовать для проверки деления с остатком.

Пример

Рассмотрим выражение: 15 : 2 = 7 (остаток 1).

В этом выражении: 15 — это делимое, 2 — делитель, 7 — неполное частное, а 1 — остаток.

Чтобы убедиться в правильности ответа, нужно неполное частное умножить на делитель (или наоборот) и к полученному произведению прибавить остаток. Если в результате получится число, которое равно делимому, то деление с остатком выполнено верно. Вот так:

• 7 * 2 + 1 = 15;
• 2 * 7 + 1 = 15.

Чтобы научиться делить числа с остатком, нужно усвоить некоторые правила. Начнем!

Все целые положительные числа являются натуральными. Поэтому деление целых чисел выполняется по всем правилам деления с остатком натуральных чисел.

Самый удобный способ деления — это столбик.

Попрактикуемся в решении.

Пример

Разделить 14671 на 54.

Как решаем:

Выполним деление столбиком:

Неполное частное равно 271, остаток — 37.

Ответ: 14671 : 54 = 271(остаток 37).

Деление с остатком положительного числа на целое отрицательное

Чтобы легко выполнить деление с остатком положительного числа на целое отрицательное, обратимся к правилу:

Неполное частное — это результат деления с остатком. Обычно в ответе записывают целое число и рядом остаток в скобках.

Это правило можно описать проще: делим два числа со знаком «плюс», а после подставляем «минус».

Все это значит, что «хвостик», который у нас остается, когда делим положительное число на отрицательное — всегда положительное число.

Алгоритм деления положительного числа на целое отрицательное (с остатком):

• найти модули делимого и делителя;
• разделить модуль делимого на модуль делителя
• получить неполное частное и остаток;
• записать число противоположное полученному.

Пример

Разделить 17 на −5 с остатком.

Как решаем:

Применим алгоритм деления с остатком целого положительного числа на целое отрицательное.

Разделим 17 на − 5 по модулю. Отсюда получим, что неполное частное равно 3, а остаток равен 2. Получим, что искомое число от деления 17 на − 5 = − 3 с остатком 2.

Проверка : a = b * q + r, 17 = −5 * (−3) + 2.

Ответ: 17 : (− 5) = −3 (остаток 2).

Онлайн-курсы математики для детей помогут подтянуть оценки, подготовиться к контрольным, ВПР и экзаменам.

Деление с остатком целого отрицательного числа на целое положительное

Чтобы быстро разделить с остатком целое отрицательное число на целое положительное, тоже придумали правило:

Из правила делаем вывод, что при делении получается целое неотрицательное число.

Для точности решения применим алгоритм деления а на b с остатком:

• найти модули делимого и делителя;
• разделить по модулю;
• записать противоположное данному число и вычесть 1;
• использовать формулу для остатка r = a − b * q.

Рассмотрим пример, где можно применить алгоритм.

Пример

Найти неполное частное и остаток от деления −17 на 5.

Как решаем:

Разделим заданные числа по модулю.

Получаем, что при делении частное равно 3, а остаток 2.

Так как получили 3, противоположное ему −3.

Необходимо отнять единицу: −3 − 1 = −4.

Чтобы вычислить остаток, необходимо a = −17, b = 5, q = −4, тогда:

r = a − b * q = −17 − 5 * (−4) = −17 − (− 20) = −17 + 20 = 3.

Значит, неполным частным от деления является число −4 с остатком 3.

Проверка: a = b * q + r, −17 = 5 * (−4) + 3.

Ответ: (−17) : 5 = −4 (остаток 3).

Деление с остатком целых отрицательных чисел

Сформулируем правило деления с остатком целых отрицательных чисел:

Из правила следует, что неполное частное от деления целых отрицательных чисел — положительное число.

Алгоритм деления с остатком целых отрицательных чисел:

• найти модули делимого и делителя;
• разделить модуль делимого на модуль делителя;
• получить неполное частное и остаток;
• прибавить 1 к неполному частному;
• вычислить остаток, исходя из формулы r = a − b * q.

Пример

Найти неполное частное и остаток при делении −17 на −5.

Как решаем:

Применим алгоритм для деления с остатком.

Разделим числа по модулю. Получим, что неполное частное равно 3, а остаток равен 2.

Сложим неполное частное и 1: 3 + 1 = 4. Из этого следует, что неполное частное от деления заданных чисел равно 4.

Для вычисления остатка применим формулу. По условию a = −17, b = −5, c = 4, тогда получим r = a − b * q = −17 − (−5) * 4 = −17 − (−20) = −17 + 20 = 3.

Получилось, что остаток равен 3, а неполное частное равно 4.

Проверка: a = b * q + r, −17 = −5 * 4 + 3.

Ответ: (−17) : (−5) = 4 (остаток 3).

Деление с остатком с помощью числового луча

Деление с остатком можно выполнить и на числовом луче.

Пример 1

Рассмотрим выражение: 10 : 3.

Отметим на числовом луче отрезки по 3 деления. Видим, что три деления помещаются полностью три раза и одно деление осталось.

Решение: 10 : 3 = 3 (остаток 1).

Пример 2

Рассмотрим выражение: 11 : 3.

Отметим на числовом луче отрезки по 3 деления. Видим, что три деления поместились три раза и два деления осталось.

Решение: 11 : 3 = 3 (остаток 2).

делители, простота, двоичный вид, куб, квадрат

Укажите число, чтобы получить всю информацию о нем:

 Случайное число

Целое положительное число 7


является однозначным. Оно записывается одной цифрой.
Сумма цифр, из которых состоит число 7, равна 7, а их произведение равно 7.

Число 7 является нечетным и простым.
Всего число 7 имеет 2 делителей:
1,
7,
. Сумма делителей равна 8. Куб числа 7 равен 49, а квадрат составляет 343.
Квадратный корень рассматриваемого числа равен 2,64575131106459. Кубический корень равен 1,91293118277239.
Число, которое является обратным к числу 7, выглядит как 0,142857142857143.

Почему 7 счастливое число?

Если вы попросите кого-нибудь выбрать число от одного до десяти, много раз этот человек выберет счастливое число 7. Но почему? Это что-то о том, чтобы быть больше пяти, но не совсем десяти? Это потому, что семь съели девять? На самом деле есть много причин, по которым число семь считается счастливым числом, подобно четырехлистному клеверу, и ни одна из них не имеет ничего общего с аппетитом этого числа. Спойлер: это скорее математика, чем суеверие, хотите верьте, хотите нет. Но если вам больше нравятся призраки и демоны, и вы хотите узнать больше о суевериях, прочитайте историю происхождения фразы «стук по дереву».

Почему 7 счастливое число?

Семь чудес света. Семь гномов. Семь дней в неделю. Семь цветов радуги. Плывут семь лебедей. Семь нот музыкальной гаммы. Семь смертных грехов. Список можно продолжить.

Некоторые математики и ученые считают, что у числа семь есть особые свойства, которые делают его привлекательным для людей. Алекс Беллос, математик и автор The Guardian , решил найти самое любимое число в мире в ходе массового публичного голосования на своем веб-сайте, которое получило более 44 000 голосов от нумерофилов со всего мира.

Избиратели назвали множество причин своего выбора. Часто число означало важную дату, памятный возраст или просто излучало «дружелюбие и теплоту». Нечетные числа превзошли четные, а круглые числа, оканчивающиеся на 5 или 0, оказались слишком расплывчатыми для большинства людей («Когда мы говорим 100, мы обычно не имеем в виду именно 100, мы имеем в виду около 100», — говорит Беллос. «Зачем вам есть что-то такое ваше любимое, что так расплывчато?»).

На третьем месте число восемь было награждено за его прекрасную симметрию и ассоциации с китайским иероглифом процветания. На втором месте номер три занял приз за многочисленные появления в культуре и природе (как говорится, в тройках все лучше). И, согласно опросу Беллоса, с почти 10 процентами от общего числа голосов самым любимым числом в мире является… семь .

В шоке? Возможно нет. Оказывается, триумф семерки только подтверждает человеческое очарование, уходящее корнями в тысячелетнюю историю. Беллос отмечает, что древние вавилонские таблички были испещрены семерками — наблюдение, которое историки будущего могли бы сделать о нас, просматривая кадры наших игровых автоматов в Лас-Вегасе и столов для игры в кости. Обязательно прочитайте эти невероятные истории об удаче, которые заставят вас поверить в нее.

Настоящая причина, по которой люди любят семерку, та же самая, по которой мы любим Джеймса Дина, Принца или сэндвич KFC Double-Down: семерка — хладнокровный бунтарь, который не следует никаким правилам, кроме своих собственных.

«Семь — единственное число среди тех, которые мы можем сосчитать на руках (от 1 до 10), которое нельзя разделить или умножить внутри группы, — объясняет Беллос. Один, два, три, четыре и пять можно удвоить, чтобы получить два, четыре, шесть, восемь и десять. Девять делится на три. Таким образом, семь — единственное число между двумя и десятью, которое не является ни кратным, ни делителем других чисел. Таким образом, «счастливое число семь» стоит особняком — и мы понимаем это имплицитно.

«Это уникальный, одиночка, аутсайдер. И люди интерпретируют это арифметическое свойство культурно», — говорит Беллос. «Связывая семь с группой вещей, вы как бы делаете их особенными. Дело в том, что мы всегда чувствительны к арифметическим закономерностям, и это влияет на наше поведение, даже если мы этого не осознаем». Узнайте настоящую причину, по которой пенни везет, особенно когда они выпадают один на один.

Значение числа 7 в других культурах

Существует тесная связь между числом семь и многими религиями по всему миру. Счастливое число 7 даже является основой многих мифов и фольклора. Древние верования со всего мира считали, что седьмой сын седьмого сына будет одарен магическими силами (как добрыми, так и злыми). В Библии ученые утверждают, что Бог создал мир за шесть дней и использовал седьмой день для отдыха. Из-за этого число семь используется для иллюстрации идеи полноты на протяжении всей Библии.

И в исламе, и в иудаизме есть семь небес. Мусульмане семь раз обходят вокруг Каабы, совершая паломничество в Мекку. Семь представляет собой гармонию, заключенную в инь, ян и пять элементов в конфуцианстве. В индуизме есть семь высших миров и семь подземных миров. В буддизме новорожденный Будда делает семь шагов.

Вот и все. Если ваше любимое число — семь, вы питаете слабость к мятежникам, личностям и расшатанным канонам математики и культуры. Как и все остальные.

Источники

• The Guardian : «Семерка победила в опросе, чтобы узнать самое любимое число мира»
• Nautilus : «Найдено: самое любимое число в мире»
• YouTube : «Алекс Беллос о любимом числе мира: почему мы все любим 7»
• Психология сегодня : «Семь причин, по которым мы очарованы числом семь»

Популярные видео

ⓘ

«7» — Что такого особенного в цифре «7»?

Все в жизни движется циклично. Секунды, минуты, часы, дни — все вместе становится частью цикла. Некоторые циклы, такие как биение сердца, движутся быстро, в то время как тысячелетие движется очень медленно. Эта статья привлечет ваше внимание к очень важному 7-летнему циклу . (Графики предоставлены Stockcharts.com, если не указано иное).

Число 7 гораздо более распространено в природе, чем многие из нас думают: есть 7 океанов, 7 континентов, 7 позвонков в шее,

7 слоев кожи (2 внешних и 5 внутренних), морские волны катятся по семеркам, радуга имеет 7 цветов, звук имеет 7 нот, есть 7 направлений, еврейская Менора имеет 7 свечей, в вашей голове 7 отверстий (продолжайте и посчитайте их), земля была создана за 7 дней (включая день отдыха), куб имеет 7 измерений (включая внутреннюю часть), мужское тело состоит из 7 частей, число 7 используется 735 раз в Библия.

Семь — число полноты и совершенства (как физического, так и духовного). Оно во многом связано с тем, что оно напрямую связано с сотворением Богом всего сущего. Согласно еврейской традиции, сотворение Адама произошло 7 октября 3761 г. до н.э. (или первый день Тишри, который является седьмым месяцем по еврейскому календарю). Слово «сотворил» используется 7 раз, описывая творческую работу Бога (Бытие 1:1, 21, 27 три раза; 2:3; 2:4). В неделе 7 дней, а суббота приходится на 7-й день. Есть 7 смертных грехов, 7 добродетелей, 7 даров Святого Духа, 7 классических планет, 7 цифр в телефонном номере N/A (после кода города), 7 холмов в Стамбуле, Риме и Иерусалиме, 7 гуманитарных наук, 7 чудеса древнего мира, 7 — количество игр плей-офф для НХЛ, МЛБ и НБА. Число 7 также важно в индуизме, исламе и иудаизме.

В экономике существует очевидный 7-летний цикл:

Возвращаясь к сорока девяти годам назад (7 х 7), в 1966 году США испытали «кредитный кризис». В августе того же года рынок облигаций США пережил серьезный «кризис ликвидности».

Семь лет спустя, в 1973 году, мир столкнулся с «нефтяным эмбарго», за которым последовал резкий рост цен на нефть. На заправках стояли длинные очереди из машин.

Продвиньтесь на 7 лет вперед, и в 1980 году Уолл-стрит избежала краха некоторых своих банков и брокерских контор, заставив братьев Хант прекратить накопление серебра. Брокерские конторы продавали серебро на фьючерсных рынках, где братья Хант покупали контракты и принимали поставки. Председатель ФРС Пол Волкер разрешил COMEX принять изменение правил торговли в выходные дни. Это изменение правил вынудило Хантов выдать сотни миллионов долларов в качестве маржи без предварительного предупреждения. Серебро достигло пика в 490,00 и золото достигли максимума в 875,00 долларов, в то время как процентные ставки достигли пика в 22%.

Прошло еще семь лет, и осенью 1987 года фондовые рынки по всему миру рухнули. В «черный понедельник» октября 1987 года индекс Доу-Джонса потерял 22% за один день. (Диаграмма предоставлена ​​Marketvolume)

 Семь лет спустя, в 1994 году, рынок облигаций рухнул.

Прошло семь лет, и в 2001 году Уолл-стрит была закрыта на 5 дней из-за нападения боевиков-исламистов на Всемирный торговый центр в Нью-Йорке. 17 сентября 2001 года индекс Доу-Джонса потерял 684 пункта. Банки получили миллиарды долларов вновь созданных денег от Федеральной резервной системы, чтобы удержать систему на плаву.

Семилетний цикл продолжался, и в 2008 году мы увидели крах рынка субстандартного жилья, а также мгновенное банкротство Lehman Brothers. Инвестиционный банк Lehman рухнул так быстро, что ни один из сотрудников не подозревал, что их рабочие места исчезают. 29 сентября 2008 г. индекс Доу-Джонса потерял 777 пунктов. Банковская система почти рухнула (банки отказывались обналичивать чеки, кроме как после трехдневного «холда», опасаясь банкротства банка-эмитента), но ФРС США спасла положение, массовые вливания вновь созданных денежных средств не только в банки США, но и в некоторые канадские и иностранные банки. Проблема долга была «решена» с большим долгом!

Кажется невероятным, что все эти аварии произошли с разницей в семь лет!

            
2015 год — следующая костяшка домино в последовательности. Финансовые проблемы 2008 года были решены , а не – только прикрыты еще большим печатанием денег.

» Я сказал им, что реальный дефицит в 2014 году составил 5 триллионов долларов, а не 500 миллиардов долларов или 300 миллиардов долларов или что бы то ни было , объявленное в этом году. 58% недофинансирования правительства. Социальное обеспечение недофинансировано на 33%. Таким образом, все государственное предприятие находится в худшем финансовом состоянии, чем Социальное обеспечение, но они оба в ужасном состоянии. [О будущих перспективах] Если вы взять все расходы, которые правительство, как ожидается, понесет, согласно прогнозам Бюджетного управления Конгресса (CBO), все расходы на оборону, ремонт дорог, выплату заработной платы судьям Верховного суда, социальное обеспечение, Medicare, Medicaid, социальное обеспечение, все и Если взять все эти расходы в будущее и сравнить их со всеми прогнозируемыми налогами, то разница составит 210 триллионов долларов. Это фискальный разрыв. Это наш истинный долг .
На этом графике показано, что федеральный долг США вырос с нуля до девяти триллионов долларов в период с 1776 по 2008 год. С тех пор, как г-н Обама был в Белом доме, этот долг удвоился и превысил 18 триллионов долларов, а потолок долга США был отменен! Он добавил за 7 лет столько же долгов, сколько все бывшие президенты вместе взятые за предшествующие 242 года! Любой, кто хоть немного разбирается в ведении бюджета, знает, что это прямой путь к катастрофе. В 2008 году 25 процентов всех американцев в возрасте от 18 до 29 лет-летнюю возрастную группу считали себя «низшим классом». Но в 2014 году поразительные 49 процентов всех американцев в этом возрастном диапазоне считали себя «низшим классом». Процент полностью занятых американцев вернулся к уровню 1982 года. Впервые в истории США предприятия закрываются быстрее, чем открываются новые.

Фондовые рынки запоздали для серьезной коррекции. Энергия для текущего роста фондового рынка поступила в основном от печатных станков. У центробанков сейчас заканчиваются возможности спасти финансовую систему после того, как они годами добавляли деньги к денежной массе.

Канадские и европейские банки так же уязвимы перед крахом, как и банки США. В 2013 году канадское правительство добавило в банковское законодательство понятие залога. Как и в случае с Кипром, банки могут обменивать депозиты на банковские акции в случае кризиса ликвидности. Акции, вероятно, будут ограничены во времени, в течение которого они не будут продаваться. Европейские банки также могут конфисковать деньги вкладчиков путем внесения залога. Тем временем наличные деньги постепенно устаревают (пожалуйста, прочитайте мою статью «Битва с наличными» на сайте www.pdegraaf.com).

Семилетний цикл подробно описан Джонатаном Каном, автором книги «Предвестник», в его последнем бестселлере «Тайна Шемиты».

Интересно, что еврейская Шемита часто заканчивалась примерно в то же время, что и рыночные крахи, перечисленные в этой статье. Последняя Шемита закончилась 29 сентября 2008 года, в день, когда индекс Доу-Джонса упал на 7%. Шемита 2001 года закончилась 17 сентября 2001 года, когда индекс Доу-Джонса упал на 684 пункта. Текущая Шемита должна закончиться в воскресенье, 13 сентября 2015 года. 

Показан график золота за период с 2007 по 2009 год. Золото заканчивало откат в 2008 году, очень похожий на коррекцию, начавшуюся в 2011 году, – откат, который, похоже, подходит к концу. (См. следующий график). Это золотое дно 2008 года произошло сразу после краха фондового рынка 2008 года.

Показан текущий график золота. Цена нашла поддержку на уровне 1075 долларов и движется к первой цели по зеленой стрелке. Ожидается, что откат найдет поддержку в районе синей стрелки. Поддерживающие индикаторы положительны (зеленые линии). Китай покупает золото по 2000 тонн в год, в то время как Индия и Россия вместе с несколькими более мелкими азиатскими странами поглощают 1000 тонн в год. Это больше золота, чем добывают рудники мира. Дефицит был восполнен за счет растраты со стороны западных центральных банков. В этих банках заканчивается золото! Основы «золото-бычьи».

В периоды финансовых потрясений люди всегда обращались к золоту за безопасностью.

Представлен график серебра с 2007 по 2009 год. Вскоре после обвала фондового рынка серебро прекратило откат, начавшийся в начале 2008 года. 

Показан текущий серебряный график. Цена нашла поддержку на уровне 14,50, а поддерживающие индикаторы положительны. Две стрелки оказывают сопротивление. Как только цена поднимется выше двух стрелок, начнется следующее ралли серебра.

«Благоразумные видят Опасность и принимают Прибежище». Притчи 22:3 NIV.
Берегите себя – готовьтесь к худшему и надейтесь на лучшее.
Отказ от ответственности. Пожалуйста, проявите должную осмотрительность. Питер Деграаф НЕ несет ответственности за ваши инвестиционные решения.