Орёл или решка?

Язык проекта:

Правда ли, что вероятности выпадения орла и решки при подбрасывании любой монеты одинаковы и равны 1/2 (одной второй)? Давайте проверим!

Поучаствуйте в проекте и получите знак отличия.

Мне нравится
Проект нравится 200 участникам

Что нас больше учит – время или случай?
Е. Клячкин «Мокрый вальс»

Случалось ли вам видеть, как некоторые решения принимаются на основе жребия? Например, какая команда первой введёт мяч в игру? Подобный жребий может существенно повлиять на судьбу человека или команды. Кто первым будет бить послематчевые пенальти? Кто (при прочих равных условиях) выходит в следующий круг соревнований? От порядкового номера на старте марафона могут незаслуженно пострадать сильные гонщики, например, из-за смены погодных условий.

Для жребия, то есть для принятия решения, часто используются подручные средства, например, монеты. Так, исход полуфинального матча Италия–СССР чемпионата Европы 1968 года решила подброшенная судьей лира (здесь: название денежной единицы Италии).

Но можно ли быть уверенным в том, что вынутая из кармана монетка (иена, цент, гривна, оре) с одинаковой частотой (или, как скажут математики, вероятностью) будет падать на одну из сторон? От чего это может зависеть? Как такой жребий сделать справедливым (равновероятным)? Многие учёные в разные времена пытались дать ответ на этот вопрос.

В начале ХХ века английский математик Карл Пирсон не поленился подбросить монетку 12000 раз: орёл выпал 6019 раз. Когда же он повторил эксперимент 24000 раз, то орёл выпал 12012 раз. Видно, что вероятность выпадения орла близка к ½, однако она остаётся чуть больше половины. Закономерность ли это?

Давайте попробуем провести такие эксперименты и мы с вами. У нас, кстати, есть важное преимущество: нас много. И мы сможем получить статистику на заметно большем количестве испытаний и проверить гипотезу о равной вероятности выпадения орла и решки. Кроме того, а вдруг нам удастся найти уникальные монеты, для которых гипотеза о «справедливости» исхода неверна в принципе!

Выбирайте монету. Подбрасывайте её, считайте исходы и присылайте свои результаты. Следите за обобщением результатов всех участников на нашем сайте.

Ключевые слова:частота, вероятность, среднее значение, математическое ожидание, статистика, распределение, график, гистограмма, монета, орёл, номинал, чеканка, сплав, диск, симметрия, однородность, решка, реверс, аверс, frequency, probability, mean, mathematical expectation, statistics, distribution, chart, histogram, coin, heads, obverse, tails, reverse, assigned value, mintage, coinage, alloy, disc, symmetry, homogeneity

Перейти к разделу Исследование

  • Авторы проекта
  • Кураторы проекта

  • moneymuseum

  • julia_rodina

Сколько раз бросать монетку? • Константин Кноп • Научно-популярные задачи на «Элементах» • Математика

Как бы изменились ответ и решение, если бы игра шла не до двух орлов, а до трех? Применим тот же прием для большего числа переменных.

Пусть ЕОО, ЕОР, ЕРО и ЕРР — средние продолжительности для игр, которые начались с выпадения «ОО», «ОР», «РО» и «РР» соответственно. Тогда средняя длина произвольной игры равна Е = (ЕОО + ЕОР + ЕРО + ЕРР)/4. С другой стороны, ЕОО = (3 + (1 + ЕОР))/2, поскольку после «ОО» игра с равной вероятностью либо заканчивается, либо продолжается выпадением решки, и тогда длится в среднем на один ход дольше, чем игра, начавшаяся с «ОР». Аналогично, ЕОР = (1 + ЕРО + 1 + ЕРР)/2, ЕРО = (1 + ЕОР + 1 + ЕОО)/2 и ЕРР = (1 + ЕРО + 1 + ЕРР)/2. Эта система уравнений немного труднее предыдущих, но если не бояться трудностей, то из нее можно получить, что ЕОО = 10, ЕОР = 16, ЕРО = 14 и ЕРР = 16, поэтому Е = (10 + 14 + 16 + 16)/4 = 14.

Перечислим еще несколько обобщений полученных результатов.

Если считать выигрышем выпадение не обязательно трех орлов, но и трех решек подряд, то ждать придется ровно вдвое меньше — всего 7 ходов. В общем случае ждать выпадения комбинации из N одинаковых заданных результатов (то есть либо орлов, либо решек) при бросании монетки в среднем приходится 2N + 1 − 2 хода, а если выигрышем считать появление любой из двух комбинаций, то — 2N − 1 ход.

Если заменить монетку 6-гранной игральной костью, то ждать выпадения комбинации из N одинаковых заданных граней придется в среднем (6 + … + 6N) ходов, а комбинации из любых N одинаковых граней — в шесть раз меньше. Почему так? Попробуйте доказать это самостоятельно.

А теперь представьте, что вы играете против «однорукого бандита». За участие в каждой игре вы платите определенную сумму, а в случае выигрыша сразу уходите с ним. Правда ведь полезно понимать, как часто можно ждать выигрыша? И стоит ли вообще его ждать, если в среднем сумма выигрыша оказывается меньшей, чем то, что вы тратите на продолжение игры?

Если бы вместо однорукого бандита вы играли в описанную в задаче игру с бросанием монетки (до двух орлов) и за каждый бросок платили 1, а за выигрыш получали N, то при каком наименьшем N вы бы сочли игру справедливой и согласились играть? Эквивалентен ли этот вопрос тому, который был задан в задаче? Не торопитесь отвечать. ..

Вот еще одна ситуация с заведомо невыгодной игрой, в которой требуется аккуратный математический расчет. Пусть условия игры таковы, что ваш выигрыш в каждом раунде происходит с вероятностью, меньшей 1/2 (например, именно так обстоят дела в рулетке, где из-за наличия сектора «зеро» вероятность выигрыша при любой ставке не превышает 18/37, то есть с такой вероятностью можно удвоить ставку, а с вероятностью 19/37 — потерять ее). Если можно сыграть один раунд, то считается разумным поставить всю сумму на кон и рискнуть. А если разрешается сыграть только четное число раундов и победителем игры можно стать, только выиграв больше половины из них? Многие считают, что в этой ситуации нужно играть две игры и «уносить ноги». На самом же деле (как показывают математические расчеты) выгоднее всего сыграть достаточно большое число игр — 18 или 20. Именно при таком количестве вероятность победы в игре в целом оказывается наибольшей.

В теории вероятностей и теории игр известно много задач, при решении которых интуиция подводит даже очень искушенных в математике людей. Часто такие задачи оформляются в виде парадоксов. Например, парадокс двух братьев обычно формулируется так: каждый из братьев — Ваня и Даня — «выбрасывает» 1 или 2 пальца, потом они складывают количество пальцев, и если сумма четна, то Даня дает Ване число щелбанов, равное этой сумме, а если нечетна — то Ваня дает Дане число щелбанов, равное этой сумме.

На первый взгляд, кажется, что игра вполне честная — Ваня ставит щелбаны в двух случаях из четырех равновозможных, и при этом выдает 3 + 3 щелбана. Даня ставит брату щелбаны в двух остальных случаях, и при этом выдает 2 + 4 щелбана. Загвоздка, однако, в том, что интуиция ошибается — оптимальная стратегия для каждого из братьев отличается от стратегии «выбрасывать 1 или 2 пальца с одинаковыми вероятностями», и поэтому игра оказывается невыгодной для одного из них и выгодной для другого. Как вы думаете, для кого именно она выгодна? Проверьте свою интуицию.

Вернемся к разобранной нами задаче с выпадением орлов. Использование линейных уравнений в этой задаче избавляет от гигантских вычислительных трудностей. Ведь если бы мы просто «в лоб» постарались перечислить все (равновероятные) случаи игр, продолжавшихся не более чем N ходов, для каждой такой игры установить точную ее продолжительность (момент первого появления двух орлов подряд) и усреднить все полученные значения, то столкнулись бы с необходимостью подсчета сложных рекуррентных соотношений и вычисления «телескопических» сумм. Даже задача подсчета числа игр, в которых первое появление двух орлов происходит ровно на k-м ходу, — это не самая простая задача, а ведь для нашей задачи она являлась бы легкой разминкой перед «основным блюдом».

Если вы хотите продолжить знакомство с теорией вероятности, рекомендуем следующие книги:
1) Г. Секей, «Парадоксы в теории вероятностей и математической статистике» — книга венгерского математика Габора Секея, содержащая огромное количество неожиданных утверждений из теории вероятностей, математической статистики и теории случайных процессов.
2) Ф. Мостеллер, «Пятьдесят занимательных вероятностных задач» — подборка несложных задач для начинающих.
3) В. А. Никифоровский, «Вероятностный мир» — научно-популярная книга об истории развития теории вероятностей и ее приложений.
4) David Salsburg, The Lady Tasting Tea: How Statistics Revolutionized Science in the Twentieth Century — современная популярная книжка о математической статистике.

FS Dice — Бросьте кубик виртуально онлайн

D4D6D8D10D12D20

(Нажмите кнопку или нажмите Dice

/ Пробел

)

1. Что такое FS Dice Roller?

FlipSimu(FS) Игра в кости предназначена для виртуального броска игральной кости (кости — это единственная форма игры в кости) онлайн.

Виртуальный кубик пригодится, когда у вас нет настоящих кубиков для броска. Он имитирует оригинальный штамп.

Это бесплатное приложение с различными настройками, которые сделают ваши игры и обучение увлекательными.

Мы разработали этот инструмент, потому что в Интернете нет такого специализированного и интерактивного броска костей, как этот.

Этот инструмент не предназначен для азартных игр , и мы хотим сделать его отличным инструментом для развлечения и обучения.

Кубики поставляются с цветами, количеством (максимум 3 кубика), настройкой содержимого и интегрированным звуком. Вы можете использовать точки, текст или изображения для содержимого кубика.

В случае, если вместо этого вам нужен подбрасыватель монет, ознакомьтесь с нашим чтением карт FS Coin или Yes или No Tarot, ознакомьтесь с FS Tarot.

2. Как виртуально бросить кубик?

Бросить кубик с помощью этого онлайн-ролика для игры в кости очень просто. Есть два способа бросить кубик.

1. Вы можете щелкнуть кубик или нажать кнопку броска, чтобы начать случайный бросок.

2. Вы можете долго нажимать и отпускать кнопку вращения, чтобы имитировать энергию вращения.

3. Затем будет показан результат броска костей.

4. Вы также можете настроить количество, цвета, звук и содержимое кубиков в разделе настроек.

Хорошо, что вы можете получить к нему доступ как с ПК, так и с мобильного устройства.

3. Список игр в кости?

Вы можете использовать виртуальный инструмент для игры в кости в любой игре или деятельности, в которой используются кости. Ниже приведен список игр с костями, в которые можно играть с помощью нашего Dice Roller.

  • Математическая игра (точки/текст(числа)/изображения)
  • Настольная игра
  • Ледокол
  • Словарь (первая буква/последняя буква/звуки/и т. д.)
  • Другие

4. Варианты FS Dice

Ролик виртуального игрального кубика может иметь любое количество сторон или граней. Когда вы бросаете виртуальные кости, они генерируют случайные числа в зависимости от количества сторон.

D6 — обычный онлайн-роллер для игры в кости. Кроме того, у вас есть другие варианты, такие как D4 Dice, D8 Dice, D10 Dice, D12 Dice, D20 Dice и т. д.

5. Нам нужен ваш отзыв?

Мы хотим, чтобы наша игра в кости была интересна и в то же время полезна для обучения.

Если у вас есть какие-либо отзывы о том, как сделать игру в кости лучше с точки зрения дизайна, функций или чего-то еще. Пожалуйста, не стесняйтесь оставлять свои отзывы здесь.

6. Поделиться приложением?

Если вам нравится наш Dice Roller и вы хотите поделиться им со своими друзьями и семьей, вы можете легко сделать это, нажав кнопку «Поделиться» (рядом с логотипом).

По умолчанию, он будет включать ваши текущие настройки кубиков, поэтому, когда люди перейдут по ссылке, они получат такие же кубики, как и ваши.

Вы можете поделиться URL-адресом напрямую или через Facebook или Twitter.

Давайте бросим кубик прямо сейчас, используя FS Dice!

Мгновенное чтение карт Таро «ДА» или «НЕТ» (бесплатно)

ДА ИЛИ НЕТ ТАРО

Получите мгновенный ответ «ДА» или «НЕТ» на ваш вопрос прямо сейчас.

SWIPE & PICK

Вам нужен быстрый ответ на ваш вопрос? Это чтение Таро «Да или Нет» даст вам бесплатный, прямой совет «да» или «нет». Просто переверните карту Таро, чтобы получить расшифровку, отвечающую на ваш вопрос.

1. Что такое FS Таро Да Нет?

FlipSimu(FS) Tarot — это мгновенный симулятор карт Таро «Да или Нет». Вы можете обратиться к картам Таро за советом, когда у вас есть вопрос.

Каждая карта Таро имеет ответ Да или Нет. Наряду с ответом «да» или «нет», карта Таро, которую вы переворачиваете, подскажет вам, какие действия вы можете предпринять в ответ на ваш вопрос.

Кроме того, он предлагает вам альтернативную точку зрения на ваши обстоятельства, которая может помочь вам найти решение.

Показания карт Таро могут указывать на множество разных вещей, и иногда они не смогут дать ответ на ваш вопрос без более сложного расклада Таро. В этой ситуации Таро FS предложит ответ «Может быть».

2. Как работает чтение?

Колоды Таро состоят всего из 78 карт. В них 66 карт, смешанных по типу «Да» или «Нет», и 12 карт по типу «Может быть».

Ниже описан пошаговый процесс использования симулятора карт Таро Да или Нет для вашего вопроса.

1. Придумайте вопрос в уме или запишите его в поле вопроса.

2. Проведите пальцем или мышью или используйте стрелки влево и вправо для перемещения карточек.
3. Выберите карту Таро или нажмите кнопку «Выбрать случайным образом».

4. Отобразится имя, ответ да или нет вместе с чтением выбранной карты Таро.

5. Подумайте над данным советом и посмотрите, как он может помочь в вашем вопросе.

Симулятор FS Tarot позволяет изменять некоторые цвета. Его можно изменить в разделе настроек.

Отображаемое решение не означает, что вы должны это делать. Они по-прежнему являются отличным справочником, если вы ищете разъяснения по определенной теме.

Помните, что вы должны мудро мыслить, принимая любое решение, независимо от того, какой ответ дает карта.

3. Как получить наилучший ответ при раскладывании карт Таро «Да» или «Нет»

Перед выполнением раскладов Таро рекомендуется сесть в спокойной обстановке и настроиться на правильный лад.

Вы также можете написать свой вопрос в поле вопроса и конкретно указать вопрос, который хотите задать.

Вы можете перетасовать карты Таро (нажмите кнопку перемешивания), сосредоточившись на вопросе.

4. Когда мы можем использовать Таро Да Нет?

Таро Да Нет, на наш взгляд, может быть полезно в следующих ситуациях:

  1. При принятии простого решения. Например. Должен ли я посмотреть фильм сегодня вечером?
  2. Когда вы столкнулись с трудностью и хотели бы обратиться за помощью и советом к другим.
  3. Это чтение Таро полезно для снятия напряжения, если есть какие-то вопросы без ответа, которые не дают вам спать по ночам.
  4. Вы также можете использовать расклад Таро «да» или «нет» для предсказания будущего.

Имейте в виду, что показания «Да» или «Нет» предназначены для быстрого ответа на короткий, конкретный вопрос. Если вам нужно более подробное руководство или если вы получаете много ответов «Может быть» на ваши недавние запросы о Таро, вы, вероятно, можете использовать более сложный расклад Таро.